时间序列分析

2. 时间序列的预处理

2.1 平稳性

2.1.1 定义

• 严平稳: 序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化
• 宽平稳: 低阶矩平稳
  宽平稳的性质

  常数均值, 常数方差, 自协方差函数仅依赖于时间差

2.1.2平稳性检验

图检验:

• 时序图: 常数均值, 常数方差, 序列在一个常数值附近波动, 波动范围有界, 无明显趋势和周期
• 自相关系数图: 由于平稳序列有短期相关性, 所以随着k值的增加, 平稳序列的自相关系数会很快趋近于0

2.2 纯随机性检验(白噪声检验)

2.2.1 白噪声序列的定义

序列一定是平稳序列, 而且是最简单的平稳序列, 不同时刻序列值之间无相关关系

任取 $ t, s \in T $，有 $$ \gamma(t, s)=\begin{cases}\sigma^{2}, & t = s\\ 0, & t \neq s\end{cases} $$

2.2.2 白噪声序列的性质

• 1. 纯随机性: $\gamma(k) = 0, \quad \forall k \neq 0$, 即序列各项序列值之间没有任何相关关系
• 2. 方差齐性: $D(X_t) = \gamma(0) = \sigma^2$, 即序列每个变量的方差都相等

2.2.3 白噪声检验

$\gamma(k) = 0, \quad \forall k \neq 0$ 是一种理想情况, 纯随机序列的样本自相关系数不会绝对为0

• 1. Q统计量检验(大样本场合)
• 2. LB统计量检验(小样本场合) 前(6阶或12阶)的统计量的p值大于0.05, 不能拒绝原假设, 认为序列是白噪声序列

3 ARMA模型

3.1 Wold分解定理

任意一个离散平稳序列都可以分解为两个不相关的平稳序列之和, 一个为确定性的(AR), 一个为随机性的(MA)

3.2 AR模型

3个限制条件:

• 1.$\phi_p\neq0 $, 保证了模型的最高阶数为p
• 2.$E(\epsilon_t)=0, Var(\epsilon_t)=\sigma^2, E(\epsilon_t\epsilon_s)=0, s\neq t$ , 保证了模型的误差项是零均值白噪声序列
• 3.$$

3.2.1 平稳性判别

• 1. 特征根判别法: 特征根的绝对值都小于1
• 2. 平稳域判别法: AR(1), AR(2)

3.2.2 平稳AR模型的统计性质

• 均值
• 方差
• 自协方差函数
• 自相关系数
• 偏自相关系数

3.3 MA模型

3.3.1 统计性质

• 1. 常数均值
• 2. 常数方差
• 3. 自协方差函数仅依赖于时间差, 且q阶截尾
• 4. 自相关系数q阶截尾
• 5. 偏自相关系数, MA(1)模型

3.3.1 可逆性

自相关系数和模型之间不是一一对应的关系

可逆性条件, 和AR(p)模型的平稳概念是完全对偶

逆函数的递推公式

3.4 ARMA模型

• 平稳性: 完全由自回归部分决定
• 可逆性: